p 298 .

Paragrafo 2 . Le rivoluzioni delle scienze matematiche e fisiche.


     
Introduzione.

Nel   corso   del  diciannovesimo  secolo  avvengono,  nelle   scienze
matematiche  e  fisiche,  vere  e proprie  rivoluzioni  che  minano  i
fondamenti classici del sapere scientifico. Tralasciando di analizzare
in  maniera  particolareggiata  queste trasformazioni,  cercheremo  di
indicarne  sommariamente la direttrice e di sottolinearne la rilevanza
sul piano filosofico.

Le geometrie non euclidee e le nuove concezioni della matematica.

La filosofia matematica.

Il  processo  di  progressiva semplificazione logica  delle  strutture
della  conoscenza scientifica  una costante - come  vedremo  anche  a
proposito  della teoria della relativit di Einstein -  della  scienza
del  ventesimo  secolo.  La definizione che il matematico  e  filosofo
inglese  Bertrand  Russell  d  della filosofia  matematica  pu  in
qualche modo essere estesa alla filosofia della scienza.
     La  Matematica    una  disciplina che  pu  essere  sviluppata,
partendo dai suoi aspetti pi familiari, in due opposte direzioni.  La
direzione  pi  comune  costruttiva, e procede verso una  complessit
gradualmente  crescente: dai numeri interi alle  frazioni,  ai  numeri
reali  e  ai  numeri complessi; dall'addizione e dalla moltiplicazione
alla  derivazione  e alla integrazione, e avanti ancora  verso  l'alta
matematica. L'altra direzione, che  meno comune, procede per  analisi
verso  una  sempre maggiore astrazione e semplicit logica.  [...]  La
filosofia  matematica si distingue dalla matematica ordinaria  proprio
per il fatto di seguire questa seconda direzione(2).
     
La scoperta delle geometrie non euclidee.
     
I  geometri  dell'antica Grecia, passando dalle regole empiriche  dei
periti  agrimensori egizi agli enunciati generali con  i  quali  dette
regole  vennero  spiegate,  e di l agli assiomi  e  ai  postulati  di
Euclide, erano in piena filosofia matematica,

p 299 .

secondo  la definizione data pi sopra(3). La storia della  geometria
euclidea  poi andata - osserva ancora Russell - nella direzione della
matematica  come   ordinariamente intesa:  consistita  cio  nella
deduzione dai postulati di Euclide di tutta una serie di teoremi e  di
regole, in un processo di complicazione.
     All'inizio  del  diciannovesimo secolo non  si  dubitava  nemmeno
lontanamente  della validit di questo metodo deduttivo nelle  scienze
matematiche, fondate su princpi universalmente validi. Per Kant, come
si  ricorder,  le proposizioni matematiche e i postulati  di  Euclide
sono  addirittura  una  conoscenza a priori, cio  non  derivata  -  e
completamente autonoma - dall'esperienza.(4)
     Proprio  dal  tentativo  di rafforzare  ulteriormente  il  valore
fondante  dei  postulati di Euclide nasce per caso  la  geometria  non
euclidea.(5)  Gi  dai tempi antichi, infatti, erano  stati  formulati
dubbi   sul   quinto   postulato  di  Euclide,  quello   sulle   rette
parallele;(6) i matematici del diciottesimo secolo si preoccuparono di
fugare  questi  dubbi  dimostrando che  le  possibili  alternative  al
postulato  di  Euclide generano contraddizioni e quindi sono  assurde.
Una di queste alternative prevedeva che per il punto P potesse passare
pi  di  una  retta  parallela a l.(7) Nel diciannovesimo  secolo  due
studiosi,  il  russo  Nikolaj  Ivanovic  Lobacevskij  (1793-1856)  e
l'ungherese  Jnos  Bolyai  (1802-1860),  lavorando  indipendentemente
l'uno dall'altro, costruiscono una geometria non euclidea, all'interno
della quale, ad esempio, la somma degli angoli interni di un triangolo
 sempre minore di 180.8(
     )  Una  volta  spezzata  la catena della  certezza  fondante  dei
postulati di Euclide, partendo proprio dall'anello debole del  quinto,
e  nonostante  le  forti resistenze degli ambienti scientifici,(9)  si
apre la via alla nascita di tutte una serie di geometrie non euclidee,
che  prendono  in considerazione le figure costruite su  piani  curvi,
anzich sul tradizionale piano di Euclide.(10)
     
     p 300 .
     
     Al  di l degli spazi che vengono cos aperti per altri ambiti di
ricerca,(11) le geometrie non euclidee rappresentano un vero e proprio
rovesciamento del metodo di procedere ordinario della matematica:  non
pi  deduzioni  e  complicazioni che partono da  assiomi  fondati  e
fondanti,  ma  ricerca  e  creazione di punti  di  partenza  per  la
costruzione di sistemi, all'interno dei quali la verit, la coerenza e
la contraddittoriet non sono pi garantite a priori.
     
Il problema dei fondamenti della matematica.
     
La  nascita  delle  geometrie non euclidee trascina  nella  crisi  dei
fondamenti  l'intero  corpo delle discipline  matematiche  e,  quindi,
impone  di  verificare nella misura pi ampia possibile  gli  stessi
procedimenti della matematica.
     La   matematica,  che  per  secoli    stata  il  simbolo   della
precisione  e dell'esattezza, sente il bisogno di mettere a  punto  un
metodo   di  controllo  che  elimini  il  pi  possibile  il   ricorso
all'intuizione e all'uso del linguaggio comune: questo perch  -  come
abbiamo  appena  detto  -  ormai chiaro che l'evidenza  intuitiva  di
alcuni  postulati  non    in  grado di garantirne  la  verit;  e  il
linguaggio   comune,   cui  spesso  si  ricorre  nelle   dimostrazioni
matematiche, mostra non poche ambiguit.
     Uno  dei  contributi  pi  significativi  al  rinnovamento  della
matematica  in tale direzione viene da Gottlob Frege. Il problema  che
egli  individua  quello di costruire ragionamenti matematici  in  cui
non manchi nessun anello:(12) per fare ci  necessario introdurre  un
assoluto  rigore  logico nei ragionamenti matematici,  sostituendo  un
simbolismo inequivocabile alle
     
     p 301 .
     
     ambiguit  del  linguaggio  comune. Ad  evitare  che  niente  di
intuitivo   vi   [nel  ragionamento  matematico]  penetrasse,   dovevo
costantemente  sforzarmi perch la catena delle  inferenze  non  fosse
soggetta ad alcuna rottura. Cercando di soddisfare questa esigenza  il
pi   strettamente  possibile,  mi  accorsi  che   un   ostacolo   era
rappresentato  dall'inadeguatezza del linguaggio. Per  quanto  pesanti
fossero  le  espressioni che ero pronto ad accettare, ero sempre  meno
capace,  a mano a mano che le relazioni diventavano vieppi complesse,
di ottenere la precisione richiesta dal mio proposito. E' stata questa
deficienza  a  darmi  l'idea della presente ideografia(13).  Il  primo
obiettivo   quello di darci il criterio pi sicuro della validit  di
una  catena di inferenze e di permetterci di risalire fino alla  fonte
di tutto ci che vi restava implicito(14).
     Ci   troviamo  cos  di  fronte  a  una  riduzione  dei  concetti
matematici  a concetti logici. Ci che appariva immediato, percepibile
quasi  in  maniera  sensibile, viene riportato  a  una  struttura  del
pensiero:  tale    infatti la logica. E' stato fatto  notare  che  la
logica  matematica  (la logica di Frege  anche cos  definita)    la
riproposizione  di  una sorta di platonismo(15): la struttura  logico-
matematica  una realt ideale che preesiste al pensiero  e  che  il
matematico  ha il compito di scoprire; gli enti matematici  sono  enti
reali,  la  cui  esistenza e realt prescindono da ogni relazione  con
l'esperienza.
     La  liberazione della matematica dalle ambiguit del senso comune
e   dell'intuizione  la  porta  ad  essere  qualcosa  di  pi  di   un
linguaggio   (magari   usato  da   Dio   per   scrivere   il   libro
dell'universo), e ne fa la scienza di enti reali: i numeri.
     La  discussione si apre immediatamente, assumendo  -  come  fanno
notare  unanimemente gli storici della matematica - le caratteristiche
e  i  toni  dei dibattiti medievali sugli universali:(16) le propriet
dei  numeri sono indipendenti dalla nostra attivit razionale,  oppure
sono  il  risultato  di  un  atto costitutivo  della  nostra  attivit
razionale?(17)
     La  discussione  tuttora aperta, e si  arricchita nel corso del
nostro  secolo di una variet e di una articolazione di posizioni  che
la   rendono  affascinante  proprio  sul  piano  filosofico,  ma   che
impediscono una qualsiasi forma di approccio - anche sommario - al non
specialista.  Per  noi    sufficiente  mettere  in  evidenza  che  la
matematica,  da  strumento per risolvere i problemi  della  conoscenza
(come  la  volevano Descartes e Galileo, Spinoza e Kant), si    fatta
essa stessa problema per la conoscenza.

p 302 .

Mach, Einstein e la critica a Newton.
     
Ernst Mach contro i cattivi concetti fisici.
     
Il  fisico  Ernst  Mach  era sostenitore di un rigoroso  empirismo  e,
proprio  per  questo,  convinto che l'empirismo  tradizionale  dovesse
essere sottoposto a una critica serrata, esattamente come aveva  fatto
Kant  con  l'intera  filosofia. Da questa  istanza  nasce  il  termine
empiriocriticismo, che designa il pensiero filosofico e scientifico di
Mach.
     Mach  si  rende  conto  che  alcuni concetti  fondamentali  della
fisica classica si sottraggono a una effettiva verifica empirica.
     Innanzitutto   il concetto newtoniano di spazio assoluto(18)  ad
essere  sottoposto all'analisi critica di Mach. Lo spazio  assoluto  
concepito  da Newton come un contenitore universale in s  fermo,  nel
quale  e  rispettivamente al quale tutti i movimenti hanno luogo.  Dal
punto  di vista empirico - osserva Mach - questo spazio risulta vuoto,
mentre ogni movimento di un corpo  un movimento relativo a un altro o
ad  altri  corpi.  La  concezione di  Mach    quella  di  uno  spazio
relazionale riferito a corpi percettibili.
     Il  concetto  di  spazio  assoluto deve pertanto  essere  espunto
dalla  fisica: esso  uno di quei cattivi concetti fisici  che  Mach
definisce   metafisici.(19)  Solo  in  una  circostanza   si   possono
provvisoriamente salvare alcuni princpi metafisici: quando, anche  se
non  hanno  alcun  rapporto con l'esperienza, con il  loro  aiuto  sia
possibile un maggiore e pi facile chiarimento dei fenomeni fisici. Ma
questo non  il caso dello spazio assoluto di Newton.(20)
     
Albert Einstein e il miracolo del mondo reale.
     
L'intuizione  di  Mach, che porta a una critica  quasi  esclusivamente
distruttiva di un fondamento essenziale della fisica newtoniana, viene
ripresa  e  sviluppata  da  Albert  Einstein,  la  cui  teoria   della
relativit  non  solo nega l'esistenza di uno spazio  e  di  un  tempo
assoluti,  ma anche altri aspetti fondamentali della fisica  classica,
come  la  distinzione fra massa e energia - con le relative  leggi  di
conservazione - e la distinzione qualitativa fra campo e materia.(21)
     
     p 303 .
     
     Le  conseguenze filosofiche della nuova fisica relativistica sono
certamente  pi  rilevanti di quelle prodotte dalle critiche  e  dalle
scoperte di Mach.
     Entrambi  sono  convinti  che la scienza  non  sia  in  grado  di
fornire una conoscenza certa della realt, ma mentre i lavori di  Mach
rappresentano  un  tentativo di ricondurre  -  attraverso  l'empirismo
critico - la totalit delle conoscenze ad elementi semplicissimi, tali
da   consentire   un   passaggio  senza  salti   dalla   fisica   alla
psicologia,(22)  per  Einstein esiste sempre,  nella  realt  e  nella
possibilit di conoscerla, una zona di mistero.
     Einstein fa risalire - secondo la tradizione dell'empirismo -  le
nostre  idee  alle  nostre esperienze sensoriali, ma  il  processo  di
formazione  delle idee  tutto soggettivo: le idee sono una  creazione
della  nostra mente. Anche l'idea di un mondo reale esterno  non  si
sottrae   a  questa  regola:  essa  nasce  dal  concetto  di  oggetto
corporeo,  il  quale  -  come tutti i concetti  -    una  creazione
arbitraria  della  mente  umana:  Dalla  moltitudine  delle   nostre
esperienze  sensoriali noi preleviamo, mentalmente e  arbitrariamente,
certi complessi
     
     p 304 .
     
     di  impressioni sensoriali che si presentano a pi riprese  [...]
e   attribuiamo  loro  un  significato,  il  significato  di   oggetto
corporeo(23).
     La  nostra  elaborazione mentale (fino alle pi complesse  teorie
scientifiche)   si  rende  progressivamente  autonoma  dall'esperienza
sensoriale  da  cui  ha  tratto origine e pu  venire  utilizzata  per
ordinare  e spiegare il complesso delle nostre esperienze. Per  quanto
possa  sembrare paradossale - osserva Einstein - le nostre costruzioni
teoriche,  per quanto siano libere convenzioni della nostra  attivit
intellettuale,  ci  appaiono pi solide e  inalterabili  della  stessa
esperienza  sensoriale  individuale, di cui non    mai  completamente
garantito    che    sia   il   prodotto   di   un'illusione    o    di
un'allucinazione(24).
     Riemerge,  come  si vede, il dubbio cartesiano  sulla  veridicit
delle  sensazioni, ma - in opposizione a Descartes - Einstein  esclude
ogni   forma  di  innatismo  e  attribuisce  (kantianamente)  soltanto
all'uomo la facolt di costruire strumenti teorici che diano senso  al
mondo esterno e lo rendano comprensibile. Il linguaggio matematico 
una  creazione  umana  e  non  certo  il  modello  usato  da  Dio  per
organizzare  il  mondo(25),  eppure ci consente  di  comprenderlo.  La
comprensibilit  del  mondo  un fatto di gran lunga  pi  eccezionale
della sua stessa esistenza: comprensibilit, in generale, implica  la
produzione di un qualche tipo di ordine fra le impressioni sensoriali,
tale  ordine  essendo prodotto dalla creazione di  concetti  generali,
dalle  relazioni fra questi concetti, e dalle relazioni fra i concetti
e  l'esperienza  sensoriale,  relazioni determinate  in  ogni  maniera
possibile.  E'  in  questo senso che il mondo delle nostre  esperienze
sensoriali  comprensibile. Il fatto che sia comprensibile    davvero
un miracolo(26).
     Questo    il mistero o miracolo di cui Einstein parla: il  mondo
esterno risponde straordinariamente agli strumenti interpretativi  che
siamo andati elaborando.
p 305 .

L'equivoco della relativit.
     
Abbiamo spesso parlato - a partire dai sofisti e fino al pragmatismo -
di   relativit  e  di  relativismo  per  indicare  quelle  concezioni
filosofiche  che negano la conoscibilit o addirittura l'esistenza  di
verit assolute e incontrovertibili. Per la teoria della relativit di
Einstein  il  discorso  un po' pi complesso e  si  articola  su  due
livelli.
     La concezione filosofica della conoscenza espressa da Einstein  
indubbiamente di tipo relativistico, simile a quella del  pragmatismo.
Per poter formulare teorie e, pi in generale, per poter pensare, sono
necessarie categorie e concetti in generale(27), ma queste categorie
non  sono  - come pensava Kant - universali ed eterne, immanenti  alla
natura dell'uomo, bens suscettibili di cambiamenti e, in molti  casi,
arbitrarie: la loro validit dipende esclusivamente dai risultati  che
esse   ci   consentono  di  ottenere.(28)  Solo   accettando   questa
concezione,  la  mente  pu sentirsi libera di modificare  le  nozioni
tradizionali di spazio e di tempo, di riesaminare tutte le possibilit
utilizzabili per definirle, e di scegliere quella formulazione che pi
concorda  con  l'esperienza. L'accordo con  l'esperienza  deve  essere
ottenuto  non negli stadi iniziali dell'analisi teorica, ma nelle  sue
conseguenze finali(29).
     Altra  cosa    la  teoria  della relativit  come  strumento  di
conoscenza  scientifica del mondo fisico. Proprio perch  una  teoria
scientifica,  la  relativit di Einstein  quanto di  pi  preciso  ed
esatto si possa pensare: essa  una costruzione di tipo matematico che
rende  conto,  nella maniera pi semplice possibile,(30)  del  maggior
numero  possibile di fenomeni fisici. Quindi niente  pi lontano  dal
pensiero di Einstein di un relativismo di tipo sofistico
     
     p 306 .
     
     applicato   alle  leggi  fisiche  e  di  una  libert  soggettiva
nell'interpretazione dei fenomeni naturali.
